Das lässt sich auch einfacher erkennen, denn mit jedem Iterationsschritt verringert sich der gesamte Flächeninhalt, der am Anfang 3 A ist also gleich Bei anderen Fraktalen, zum Beispiel der Koch-Kurve, der Mandelbrot-Menge und vielen Julia-Mengen nähert sich der Flächeninhalt stattdessen einem konstanten Wert größer als 0, konvergiert also auch. n 4 m Ingesamt kann man zwei Höhen in ein Dreieck einzeichnen. Als klassisches Fraktal ist das Sierpinski-Dreieck ein Musterbeispiel für exakte Selbstähnlichkeit: Die in jedem Schritt erzeugten äußeren Teildreiecke enthalten verkleinerte exakte Kopien des gesamten Fraktals. 2 Dieser Artikel ist als Audiodatei verfügbar: Dieser Artikel wurde am 19. 2 // Skalierungsfaktor für die Höhe der gleichseitigen Dreiecke, // Wenn maximale Rekursionstiefe erreicht, dann Koordinaten setzen und gleichseitiges Dreiecks ausfüllen. Formal lässt sich das mit ) k 4 Wenn man also beispielsweise einen Punkt der Strecke AB als Ausgangspunkt wählt, hat man nach unendlich vielen Iterationen ein Sierpinski-Dreieck konstruiert. Ungerade Zahlen mit mehr als einer Dezimalstelle werden im Folgenden der übersichtlicheren Darstellung halber als # dargestellt. ⋅ gegen unendlich geht, genauer indem der Durchschnitt aller Zwischenschritte der Konstruktion gebildet wird und es kann daher als „geometrisches Analogon“ zu einem Grenzwert aufgefasst werden. die Anzahl der Iterationsschritte ist, der Binomialkoeffizient gleich 1 ist, und alle anderen Zahlen, die dazwischen stehen gleich 0. ( {\displaystyle m} Der Zusammenhang zwischen den geraden oder ungeraden Zahlen (Binomialkoeffizienten) und den Teildreiecken lässt sich formal so aufschreiben: Für einen effizienten iterativen Algorithmus, der die binären Ziffern 0 und 1 für die geraden oder ungeraden Zahlen des Pascal-Dreieck berechnet, ist es nicht sinnvoll, die Binomialkoeffizienten zu berechnen, sondern zeilenweise eine simple binäre Addition modulo 2 auszuführen (siehe Binomialkoeffizient – Divisionsreste). Wir haben dir eine E-Mail zur Festlegung deines Passworts an geschickt. -. 2 Knoten, n Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg! 2 Der Flächeninhalt der gelöschten Dreiecke beim Iterationsschritt August 2005 in. Sie waren immer sehr geduldig, sehr motiviert und haben Spaß am lernen rüber gebracht. k − Die Höhe eines Dreiecks ist ein Lot, das von einem Punkt auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. Für den Flächeninhalt benötigen wir aber nur eine; in unserem Beispiel die Höhe auf die Seite $c$ ($h_c$). k {\displaystyle n} Dabei werden die Seiten nach den gegenüberliegenden Punkten benannt. Die fraktale Selbstähnlichkeit der Sierpinski-Pfeilspitzen-Kurve ist komplizierter, weil dort andere Drehungen, Spiegelungen und lokale Ungenauigkeiten eine Rolle spielen. Dreiecke des regelmäßigen Dreiecksgitters. 4 Die Startfigur ist dann ein Simplex. 2 kongruente Oktaeder mit dieser Kantenlänge zerlegt. Entsprechend ist dieser Knotengrad im 2 {\displaystyle a} ⋅ {\displaystyle 4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}566\ \mathrm {sr} } Wie groß ist der Umfang $U$ eines Dreiecks mit folgenden Seitenlängen? 3 {\displaystyle A_{k}=\left({\tfrac {3}{4}}\right)^{k}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}} 1 1 Interessant ist, dass sich das im Fall eines regelmäßigen Sierpinski-Tetraeders auch wie folgt einsehen lässt: Die doppelte und quadratische Projektionsfläche hilft zu zeigen, dass die Oberfläche nach jedem Iterationsschritt konstant bleibt. 12 ⋅ 4 {\displaystyle k} = Durch das Einzeichnen der Höhe teilen wir das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. 12 ( Werden alle Seitenflächen des regelmäßigen Sierpinksi-Tetraeders, also gleichseitige Dreiecke, mit einer Parallelprojektion auf eine Ebene, die parallel zu zwei seiner gegenüber liegenden und zueinander orthogonalen Kanten ist, projektiert, dann entsteht als projektierte Fläche ein Quadrat, wobei jede Teilfläche des Quadrats jeweils von 2 Seitenflächen des Sierpinksi-Tetraeders projektiert wird (siehe Animation). a k besteht aus {\displaystyle k} k Weil alle Seitenflächen des regelmäßigen Sierpinksi-Tetraeders mit der Projektionsebene denselben Diederwinkel bilden, ist jede einzelne projektierte Teilfläche um denselben Faktor kleiner als die ursprüngliche Seitenfläche. Anschaulich gesprochen besteht das Sierpinski-Dreieck somit aus unendlich vielen Eckpunkten. {\displaystyle k} {\displaystyle {\frac {1}{4}}} Danke für die Registrierung bei der Online-Nachhilfe! 8 1 ) Graphentheoretisch können die gelöschten Dreiecke des Sierpinski-Dreiecks nach dem Iterationsschritt 3 a ⋅ log 2 3 4 + a {\displaystyle m=2. kongruenten gleichseitige Dreiecke mit dieser Seitenlänge zerlegt. Der Sierpinski-Graph hat außerdem den chromatischen Index 4 (siehe Kantenfärbung). Aus dessen Mitte wird in jedem Iterationsschritt ein Oktaeder mit halber Kantenlänge herausgeschnitten. 2 m 4 hat, beträgt sein Flächeninhalt Kyle Steemson, Christopher Williams, Australian National University: Tom Bannink, Harry Buhrman, Centrum Wiskunde & Informatica: Max-Planck-Institut für Entwicklungsbiologie: Stephen Wolframs eindimensionalen zellulären Automaten, Archimedischer Körper – Ableitungen aus den platonischen Körpern, Honeycomb (geometry) - Uniform 3-honeycombs, http://www.3d-meier.de/tut10/Seite20.html, Creating an Altered Form of Sierpinski Gasket in Tikz, Sierpiński Gasket Graphs and Some of Their Properties, Coloring Sierpiński graphs and Sierpiński gasket graphs, Binary Description of the Sierpinski Gasket, Quantum Pascal’s Triangle and Sierpinski’s carpet, Erklärungen zu Chaosspiel und Sierpinsky-Dreieck, Interaktive Konstruktion zum Ausprobieren mit JSXGraph, Erklärung und Java-Applet zum Chaos-Spiel, Fraktale - Wechselspiel zwischen Chaos und Ordnung, Universität Berlin, Demonstration des Sierpinski-Dreiecks mit WolframAlpha, Sierpinski sieve generator, onlinemathtools.com, Sierpinski arrowhead curve generator, onlinemathtools.com, Text der gesprochenen Version (8. ) 3 und des menschlichen Auges sind diese Gebilde vom Grenzobjekt nicht mehr zu unterscheiden. − = Der Flächeninhalt der übriggebliebenen Teildreiecke geht gegen 0, wenn die Anzahl = 1 . Mit jedem Iterationsschritt vervierfacht sich die Anzahl der Teil-Tetraeder, also vervierfacht sich auch die Anzahl der doppelt projizierten Teilquadrate, aber die Seitenlänge der Teilquadrate halbiert sich, sodass der Flächeninhalt der doppelten und quadratischen Projektionsfläche konstant bleibt. Wir werden uns in Kürze mit dir Die Diagonalen auf einer Seite haben jeweils die Länge Wurzel aus (a²+a²), da sie einfach Diagonalen eines Quadrates sind. 3 r B. 2 Kanten und [11][12], Darstellung in Wolframs eindimensionalen Universum, Zusammenhang mit regelmäßigen Parkettierungen, Zusammenhang mit regelmäßigen dreidimensionalen Parkettierungen. 1 ( Aufgabe 3: Klick in folgendem Satz die richtige Größenangabe an. → b ⋅ Um den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen zu können, benötigen wir eine weitere Größe: die Höhe. gilt. . 2 berechnet. sind offensichtlich Diese Formeln brauchst du zum Dreieck berechnen! Wende Schritte 2 und 3 auf die drei übriggebliebenen Teildreiecke an usw. {\displaystyle {\binom {2^{k}+1}{3}}={\frac {2^{k}\cdot (4^{k}-1)}{6}}} 3 Javascript muss aktiviert sein um dieses Formular nutzen zu können. Jedes übriggebliebene Teildreieck des Sierpinski-Dreiecks ist genau einem ungeraden, Jedes gelöschte Teildreieck des Sierpinski-Dreiecks ist – mit Ausnahme der letzten. Mit einer zunehmenden Zahl von Iterationsschritten geht das Volumen der Figur gegen 0, der Flächeninhalt der Oberfläche bleibt jedoch konstant, weil sich die Anzahl der Seitenflächen der zueinander deckungsgleichen Teil-Tetraeder mit jedem Iterationsschritt vervierfacht, während sich die Seitenlänge dieser Seitenflächen, die alle deckungsgleiche Dreiecke sind, halbiert. Wir haben dir hierzu eine Der Sierpinski-Graph ist eine Darstellung des Sierpinski-Dreiecks als ungerichteter Graph. Weitere Informationen findest du hier: Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen! Oktober 2010), Mehr Informationen zur gesprochenen Wikipedia, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Sierpinski-Dreieck&oldid=208202705, „Creative Commons Attribution/Share Alike“. 3 a Entscheidend ist dabei, dass die Seitenlänge ( ) -dimensionale Simplexe (siehe Archimedischer Körper – Ableitungen aus den platonischen Körpern). 3 2 ) m ( Dieser Graph ist offensichtlich zusammenhängend. − k Die Noten haben sich dadurch sehr verbessert.Super zufrieden mit dem ganzen Team. ⋅ In klassischer planimetrischer Flächenmessung geht der Flächeninhalt mit zunehmender Iterationstiefe gegen 0. k Leg dein Passwort fest und du kannst sofort weiterlernen. k Jedes Oktaeder bildet zusammen mit 2 Tetraedern, die an zwei gegenüberliegenden Seitenflächen des Oktaeders liegen ein Rhomboeder. 3 Mal so lang ist wie die Breite des Rechtecks. 2 teilbaren Zahlen ist die Zuordnung zu den gelöschten Teildreiecken entsprechend wie für den genannten Standardfall ( 2 {\displaystyle n-1} {\displaystyle a} Sie enthält 3 rekursive Aufrufe. ( Dementsprechend existieren in einem Dreieck drei unterschiedliche Höhen. ) ⋅ {\displaystyle {\binom {2^{k-i}+2}{3}}+2\cdot {\binom {2^{k-i}+1}{3}}+{\binom {2^{k-i}}{3}}={\frac {2^{k-i}\cdot (4\cdot 4^{k-i}+2)}{6}}}   ⋅ − 4 Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? {\displaystyle 2^{2}=4} {\displaystyle {\frac {a}{2^{k}}}} // Aufruf der Methode mit maximaler Rekursionstiefe 4. m der Schritte sehr groß wird und gegen unendlich geht. Falls du vom Studienkreis keine weiteren Informationen mehr erhalten möchtest, kannst du uns dies jederzeit mit Wirkung in die Zukunft an die E-Mail-Adresse crm@studienkreis.de mitteilen. ⋅ k ( Die parallelen Seiten eines Trapezes werden normalerweise mit a und c bezeichnet. 4 i Dann haben wir auf Online umgestellt. {\displaystyle k} k 2 = 2 Eine weitere Verallgemeinerung ergibt sich, wenn als Ausgangsfigur nicht ein Dreieck, sondern ein regelmäßiges Polygon oder sogar ein beliebiges konvexes Polygon gewählt und mit jedem Iterationsschritt die Mittelpunkte der Seiten der bisherigen Teil-Polygone verbunden werden. Jedes einzelne gleichseitige Dreieck bildet bei der Projektion ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck mit den Innenwinkeln 45°, 45° und 90°. {\displaystyle k} Die folgende Tabelle zeigt die Anzahlen der verschiedenen Teildreiecke des Sierpinski-Dreiecks nach + Entferne das mittlere der 4 Teildreiecke. {\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}} ∞ 2 k 1 m n {\displaystyle 3^{k}} i Dabei gibt es zwei verschiedene disjunkte Mengen von Tetraedern. ( K Hier werden nur die Methode für die Berechnung der Koordinaten und das Zeichnen der einzelnen Dreiecke gezeigt. 2 Um den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen zu können, benötigen wir eine weitere Größe: die Höhe. 2 1 16 s 3 Eine Darstellung des Sierpinski-Dreiecks ist, analog zum Menger-Schwamm, auch dreidimensional möglich: Die Startfigur ist ein Tetraeder. + ⁡ 4 Eine passende Skalierung eines beliebigen dreieckigen Teils des Fraktals erscheint wie das Gesamtobjekt selbst. größer als die Seitenlänge der übriggebliebenen Dreiecke ist, jeweils in konstant bleibt. Mit wenigen Klicks weitere Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden! ⋅ Diese Rhomboeder, haben als Seitenflächen 6 Rauten, die aus jeweils 2 gleichseitigen Dreiecken gebildet werden, also die Innenwinkel 60°, 120°, 60°, 120° haben. , obwohl es sich hierbei um eine Figur im dreidimensionalen Raum handelt. , jeweils in 3 1 d und der Flächeninhalt der übriggebliebenen Teildreicke ist gleich 2 Senkrecht zur Mittelparallelen teilt sich Seite a in drei Strecken mit den Längen: 2 cm, 7 cm und 1 cm. ) Die Anzahlen der Polyeder der dreidimensionale Parkettierung, die vom regelmäßige Sierpinski-Tetraeder überdeckt werden, sind daher Tetraederzahlen, die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck sind. 1 entfernt werden. m Abgesehen von der rekursiven Darstellung gibt es noch einen Zufallspunkt-Algorithmus zur näherungsweisen Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks: Das "Chaos-Spiel". 2 3 + − 3 k Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle. Solltest du keine Aktivierungsmail erhalten haben, überprüfe bitte auch deinen Spam-Email-Ordner. ⋅ ⋅ d 3 − Du hast nun 24 Stunden kostenlosen Zugang zu allen Videos & Übungen der Studienkreis Lern-Bibliothek. m Das regelmäßige Sierpinski-Dreieck steht im Zusammenhang mit dem regelmäßigen Dreiecksgitter, das die euklidische Ebene vollständig mit kongruenten gleichseitigen Dreiecken ausfüllt (siehe Abbildung). {\displaystyle k} k n nirgends dichtes, lokal zusammenhängendes, metrisches Kontinuum dar und gilt – zusammen mit dem Sierpinski-Teppich – nicht zuletzt deswegen als besonders bemerkenswerter topologischer Raum.[2]. Jede Ecke der Teildreiecke stellt dabei einen Knoten, jede Seite eines Teildreiecks eine Kante und jedes Teildreieck eine Fläche des Graphen dar. Wir erhalten nämlich eine Formel, mit deren Hilfe wir den Flächeninhalt in Zukunft ganz einfach berechnen können. Der klassische Algorithmus, der zur grafischen Demonstration des Fraktalbegriffs verwendet wird, ist folgender: Dieser Algorithmus verdeutlicht den Zusammenhang. ∞ m 3 ! m Nun kennst du die Dreieck-Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt und kannst Berechnungen an einem Dreieck durchführen. log k Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Dreieck berechnen online mit unseren Übungsaufgaben! k − // Füllt das gleichseitige Dreieck mit der als Parameter angegebenen Farbe aus. {\displaystyle m} Die dadurch entstehenden Seitenverhältnisse wären komplizierter und würden entscheidend von der Ausgangsfigur, also dem regelmäßigen oder konvexen Polygon, abhängen. ( Der Code der rekursiven Programmierung ist kürzer, weil die Koordinaten der Punkte nicht in einer Liste oder einem Array gespeichert werden müssen. ⋅ 2 − ) Diese werden mit den griechischen Buchstaben $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta) und $\gamma$ (Gamma) bezeichnet. ) -dimensionale Oberflächen der verallgemeinern. Dies resultiert daraus, dass sich die Anzahl der Teildreiecke mit jedem Schritt verdreifacht, also beim Schritt ⋅ m ( n Seine fraktale Dimension ist der Kehrwert derselben, nämlich {\displaystyle D={\frac {\log(4)}{\log(2)}}=2} k {\displaystyle n} A Dreiecke verschiedener Seitenlänge entfernt. E R ⋅ . Fast alle Knoten haben den Grad 4. Gegenüber des Punktes $B$ liegt also beispielsweise die Seite $b$. ) d − Nun wird pro Schritt eine Ecke zufällig ausgewählt und der Punkt gedanklich mit der gezogenen Ecke verbunden. Formal lässt sich das als der Zerlegungsfaktor für die übriggebliebenen Teildreiecke und Mithilfe einer affinen Abbildung kann das Sierpinski-Dreieck zusammenen mit dem Dreiecksgitter auf beliebige Dreiecke verallgemeinert werden. m n 3 a {\displaystyle m^{2}} {\displaystyle k} 2 ) = Das regelmäßige Sierpinski-Tetraeder steht im Zusammenhang mit der regelmäßigen dreidimensionalen Parkettierung (siehe Raumfüllung), die aus kongruenten regelmäßigen Tetraedern und Oktaedern besteht, und den dreidimensionalen euklidischen Raum vollständig ausfüllt. m 1 Dabei werden die herausgeschnittenen Oktaeder des Iterationschritts Dann liegen die Ecken nicht unbedingt äquidistant auf den Seiten des Teildreiecks und die Seiten sind nicht unbedingt parallel. Die fraktale Dimension des Sierpinski-Dreiecks beträgt. i Dazu musst du die Formel umstellen. 0 4 , deren Kantenlänge um den Faktor {\displaystyle k\leq 4} Eine Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche nennt man dreiseitige Pyramide, weil ihre Mantelfläche jeweils drei Seiten hat. vermitteln. Die Höhe eines Dreiecks ist ein Lot, das von einem Punkt auf die gegenüberliegende Seite gefällt wird. A {\displaystyle n} 2 Das eigentliche Sierpinski-Dreieck im streng mathematischen Sinn ist diejenige Punktmenge, die als „Grenzobjekt“ nach unendlich vielen Iterationsschritten übrigbleibt. k ⁡ 4 k − = 1 Klicke dich jetzt einfach durch und entdecke unsere Selbst-Lerninhalte. }}\ \mathrm {mod} \ m>0} {\displaystyle 3^{k-1}} mit der Zeile {\displaystyle n} i − Diese Seite wurde zuletzt am 29. Ein iterativ erzeugtes Sierpinski-Dreieck aber ist stets durch seine konvexe Hülle beschränkt. ausdrücken.[10]. Diese regelmäßige Parkettierung ist spiegelsymmetrisch, punktsymmetrisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und neben dem Kubusgitter die einzige, die den dreidimensionalen Raum vollständig mit platonischen Körpern gleicher Seitenlänge ausfüllt (siehe Honeycomb (geometry) - Uniform 3-honeycombs). Dabei werden die gelöschten Dreiecke des Iterationschritts k ausdrücken. > abhängen. 2 2 Beide Dreiecke haben eine einfache Iterationsvorschrift, aus der stets eine geometrische Ähnlichkeit hervorgeht: Wird in einem Schritt beim Sierpinski-Dreieck jedes Initiatordreieck nach oben bereits beschriebener Regel ersetzt, so wird beim Pascal-Dreieck lediglich die Anzahl der Zeilen verdoppelt. 12 -dimensionalen Sierpinski-Simplexes und deren ) ( 2 2 . k k 0   {\displaystyle m^{2}} 2 + k a   = k Hier erhältst du einen kurzen Überblick zur Flächenberechnung eines Dreiecks: Ein Dreieck besitzt drei Punkte (Ecken), die in der Regel gegen den Uhrzeigersinn mit Großbuchstaben benannt werden ($A, B, C$). 3 Ingesamt kann man drei Höhen in ein Dreieck einzeichnen. n Diese Rhomboeder bilden ein Gitter aus parallelen Ebenen, die durch die Parkettierung verlaufen und die einzelnen Polyeder an den Seitenflächen berühren, aber nicht schneiden. "Für welche Tage und Uhrzeiten wünschen Sie Nachhilfe? k Teilt man das Dreieck in vier zueinander kongruente und zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke, deren Eckpunkte die Seitenmittelpunkte des Ausgangsdreiecks sind, dann sind die Teilmengen des Fraktals in den drei äußeren Dreiecken skalierte Kopien des gesamten Fraktals, während das mittlere Teildreieck nicht zum Fraktal gehört. auszuführen. ) a {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{16}}\cdot a^{2}} o {\displaystyle n} In diesem Die 4 Seitenflächen eines Teil-Tetraeders erzeugen dann jeweils ein doppelt projiziertes Teilquadrat. 1 0 und Wie viele Höhen kann man in ein Dreieck einzeichnen? Standort nicht gefunden? + {\displaystyle i} 12,566 m 1 d = 2 m Von den zugrundeliegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten her ist das Sierpinski-Dreieck eng verwandt mit der Cantor-Menge. 1