Übungsaufgaben zu Kurvendiskussion von gebrochenrationalen Funktionen Diskutieren Sie folgende gebrochenrationale Funktionen hinsichtlich des Definitions- und Die Isoquante (gebrochen rationale Funktion) ( )= − + zeigt die Kombination von und , die erzeugt, während die Isokostengerade ( )= + = × + × die Kosten () sichtbar macht. Dies wird so lange durchgeführt, bis keine Zähler- oder Nennernullstelle mehr ist. a) 2 f(x) 2x 3 b) 2x g(x) x1 c) 2 h(x) x (x 2) k(x) d) 2 3 x 2. † Arbeitsaufteilung f˜ur die Gruppen: { Gruppe 1: Bestimmung von Dmax Soll eine Gruppenarbeit durchgef˜uhrt werden, so gilt nachfolgender Arbeits-auftrag. Hier ist also eine parallele zur x-Achse bzw. Typ höchster Exponent = Grad der Funktion - Wie verhalten sich Zähler- und Nennergrad zueinander? Kurvendiskussion: gebrochen-rationale Funktionen n n n n z z m z z x b x a z x b x a Nennerpolynom Zählerpolynom f(x) ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = = K K 1. Differenzierbare Funktion: f: D f-> R mit Funktionsterm y = f(x), D f als maximale Definitionsmenge (als R [bei ganz rationalen Funktionen, trigonometrischen Funktionen, Exponentialfunktionen] bzw. Übungsaufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen 1. Bei einer gebrochen-rationalen Funktion gehören nur die reellen Zahlen zum Definitionsbereich, für die die Nennerfunktion h(x) verschieden von Null ist. Seite 2 von 11 Gebrochen-rationale Funktionen < < > > Definitionsbereich, Definitionslücken und Nullstellen Jede gebrochen-rationale Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Übung: Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen (3) (3) Sei die Funktion f c x( ), 8c 3 x 2 c 2 +:= mit dem reellen Parameter c 0≠ gegeben. Bestimme den maximalen Definitionsbereich und bilde die erste Ableitung: a) f(x) = x2 2 Mathematischer Ansatz Wenn … Falls weiterhin Zähler- und Nennernullstelle ist, muss noch einmal der Term gekürzt werden. gekürzt werden. Gegeben sei die folgende, gebrochen rationale Funktion: f(x) = x3 x2 ¡1 Untersuchen Sie diese Funktion unter Abarbeitung der auf Seite 1 aufgef˜uhrten Diskussionspunkte. Seite 2 von 11 Gebrochen-rationale Funktionen > > Definitionsbereich, Definitionslücken und Nullstellen Jede gebrochen-rationale Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. ohne Stellen mit negativen Radi-kanden [bei Quadratwurzeln] usw.) Eine Gebrochen Rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch darstellen l asst: f(x) = Z(x) N(x) Hierbei sind sowohl die Z ahlerfunktion Z(x) als auch die Nennerfunktion N(x) ein Polynom. Aufgabe 5 Bestimme die Asymptotengleichung der Funktion: x 2 x 6 f(x) 2 Lösung: Diskutieren Sie die Funktion vollständig. 2. ohne Nenner-nullstellen bei Bruchtermen [von gebrochen rationalen Funktionen] bzw. die Funktion a(x) = 4/2 = 2 die Asymptote, denn 2 2 0 4 2 1/x 4 lim x (2 1/ x ) x 4 lim 2x 1 4x lim f(x) lim 2 2 x 2 2 2 x 2 x x und analog gilt lim f(x) 2 x . Eine Funktion, die durch den Quotienten zweier Polynome gebildet wird, bezeichnen wir als gebrochen-rationale Funktion. Der "gekürzte"Term muss dann erneut auf eine Definitionslücke an der Stelle untersucht werden. Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion … Ein Polynom ist eine Funktion, die in folgender Form darstellen l asst: p(x) = Xn i=0 a ix i … De nition 3.1.1 (Gebrochen-rationale Funktion).
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